はじめに
こんにちは、イギリスの大学で数学を勉強しているゆーたです。
この記事では、第1章「正の数・負の数」の記事の最後として、「自然数」と「素因数分解」について扱います。
自然数はここまでの内容を違う角度から見るために非常に重要です。
また、素因数分解は少しのテクニックがいるので細かく見ていきます。
これまでの「正の数・負の数」の記事について見たい方もいると思います。そんな方は、下のリンクからそれらの記事に飛んでください。
→ 正の数・負の数・数直線・絶対値とは？｜正の数・負の数①
→ 負の数の入った四則演算を徹底解説！｜正の数・負の数②
→ 負の数の計算・分配法則・交換法則・結合法則｜正の数・負の数③
→ 累乗・指数・負の数や分数の累乗をマスターしよう！｜正の数・負の数④
→ 自然数・素数・素因数分解をマスターしよう！｜正の数・負の数⑤ ←現在の記事
また以下の「英語編」の記事では、今回の記事に関わる英語の内容を解説しています。ぜひこちらも読んでみてください。
→ 英語で自然数・素数・素因数分解を表現するには？ （正の数・負の数－Part 6） 【近日公開！】
解説
いろいろな種類の数
中学数学では、小学校の算数で見てこなかった考え方をいくつも学びます。
その中でも重要なのが「数を同じ特徴でグループ分けすること」です。
この考え方は、高校や大学に入っても勉強し続けるので今の内からしっかりと理解できると素晴らしいです。
実はここまで習った内容を生かすと、次のような「特徴を持ったグループ」として分けることができます。
| 数の種類 | 特徴の説明 |
|---|---|
| 整数 | ０から順に１ずつ増やすか減らすことでできる数のグループ |
| 小数 | 整数でない数の中で、小数点を使って表される数グループ |
| 分数 | 整数でない数の中で、「〇／△」の形で表される数のグループ |
| 偶数 | ２で割り切れる整数のグループ |
| 奇数 | ２で割り切れない整数のグループ |
ちょっとだけ「数のグループ分け」の意味が分かってきたのではないですか？
さらに、ここからは新たなグループとして「自然数」と「素数」を解説します。
自然数について知ろう！
１．自然数とは？
まずは、「自然数」から見ていきましょう。「自然数」は「正の整数」を表す言葉です。
すなわち、「1,2,3,4,5」などの数はすべて自然数です。
私たちは今回負の数を考えるようになったので、これからは「正の整数と負の整数」として整数を扱います。
２．なんで「自然数」って言うの？
ただ、「自然数」という用語はどこか不自然ですよね。
…そうです！「自然数」は英単語を直訳してできた言葉の一つです。
このように呼ばれるようになった背景などは【英語編】で紹介したいと思います。
興味のある方は下のリンクから読んでみてください。
→ 英語で自然数・素数・素因数分解を表現するには？ （正の数・負の数－Part 6） 【近日公開！】
素数と素因数分解を知ろう！
１．素数とは？
次に、「素数」を紹介します。
「素数」とは「１とその数自身でしか割り切れない、１より大きな自然数」のことです。
例えば、「２」は「１とその数自身である２でしか割り切れない」ですよね。
よって「２」は素数です。
２．素数かどうかを調べてみよう！
まだ「１とその数自身でしか割り切れない」という意味がわからない人も多いと思います。
そこで、実際にいくつかの数について「それが素数かどうか」考えてみましょう。
同様の考え方をすれば、「12, 14, 25」などは素数ではありませんね。
３．素因数分解とは？
上の例では、１５を小さな素数で順番に割っていきました。
そうすることで、「 $15=3\times5$ 」のように「素数だけの積」で表すことができます。
このような操作を「素因数分解」と言います。
例えば、12の素因数分解は…
$12=3\times4=3\times{2^2}$
のような手順で行うことができます。
素因数分解では、同じ素数が複数ある場合に「累乗」の形を使ってコンパクトに表現します。
累乗について確認したい方は下のリンクから一つ前の記事に飛んでください：
４．大きな数を素因数分解する方法は？
では、数が大きくなったらどのような手順で素因数分解すればいいのでしょうか？
答えは「考えられる素数でひたすら割り続ける」です。
例えば「120」を素因数分解する場合には次のように考えます。
上のような書き方で素因数分解をするのが一般的です。
上で使われている表し方を始めてみる人もいるでしょう。
この書き方は、「小学校で習った割り算の筆算をひっくり返して、複数回並べて書いた形」になっています。
下の図を見てください。
このような手順で素因数分解を行う場合には「ある程度の素数を知る」ことも必要です。
ここに20までの素数はすぐに分かるようにしておくと便利です：
$2,3,5,7,11,13,17,19$
最初に書きましたが、素数は１より大きくないといけないので「１は素数ではない」です。
５．その数は何の倍数？
素因数分解に慣れてくると、数字の形を見て「その数が何の倍数か分かる」場合もあります。
例えば、「１の位が２の倍数（偶数）なら数全体も２の倍数」になることなどはすぐに分かると思います。
最後に
いかがでしたか？素因数分解などは難しく感じた方もいたかもしれません。その場合には、自分の持っている教材やインターネットで問題などを探して取り組んでみましょう。上のステップを踏めば、どの問題も解けると思います。
これで第1章「正の数・負の数」は終わりました。最後まで読んでいただきありがとうございました。次の章では「文字を用いた式」について扱います。
また以下の「英語編」の記事では、今回の記事に関わる英語の内容を解説しています。ぜひこちらも読んでみてください。
→ 英語で自然数・素数・素因数分解を表現するには？ （正の数・負の数－Part 6） 【近日公開！】
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