はじめに
こんにちは！イギリスの大学で数学を勉強しているゆーたです！
今回は「正の数・負の数」の第4回として、「累乗」を解説していきます！
特に、負の数の累乗や分数・小数の累乗、その他の計算のテクニックなど、「正の数・負の数」以外でも必要になってくる内容を詳しく解説しています！
これまで「正の数・負の数」の記事や次の記事について見たい方もいると思います。下のリンクからそれらの記事に飛んでください。
→ 正の数・負の数・数直線・絶対値とは？｜正の数・負の数①
→ 負の数の入った四則演算を徹底解説！｜正の数・負の数②
→ 負の数の計算・分配法則・交換法則・結合法則｜正の数・負の数③
→ 累乗・指数・負の数や分数の累乗をマスターしよう！｜正の数・負の数④ ←現在の記事
→ 自然数・素数・素因数分解をマスターしよう！｜正の数・負の数⑤ 【近日公開！】
また、以下の英語編の記事では、今回の記事に関わる英語の内容を解説しています。ぜひこちらも読んでみてください。
→ 英語で累乗を表現する方法は？ （正の数・負の数－Part 5） 【近日公開！】
解説
累乗について
１．累乗とは？
まずは「累乗」の基礎的な部分について解説します。
次のような計算を考えてみましょう。
$3\times3\times3\times3\times3\times3$
上の計算は「一つずつ書くのも面倒くさい」上に「３がいくつあるか分かりにくい」という問題があります。
そこで、「累乗」という考え方を使います。
例えば、上の例は次のように書き表せます：
ここで、「 $3^6$ 」を「３の６乗（さんのろくじょう）」と読みます。
また、この例での「３」の部分を「底」、６の部分を「指数」と呼びます。
一般的には、「AのB乗」で「$A^B$」を表します。しかし、「２乗」は「自乗（じじょう）」と読む人もいます。
さらに、「２乗」を「平方」、「３乗」を「立方」とする場合もあります。
２．負の数の累乗はどう表す？
また、負の数のかけ算では次のように表すことができます：
$(-3)\times(-3)\times(-3)\times(-3)=(-3)^4$
$(-3)^4$ と $-3^4$ の違いに注意しましょう。
$(-3)^4=81$ ですが、 $-3^4=-(3^4)=-81$ となり違う計算です。「負の数を累乗したいときはカッコで底をくくる必要がある」ことを忘れないでください。
３．小数・分数の累乗の表し方
では、小数の累乗や分数の累乗も考えてみましょう。
小数の累乗は、次のように整数の場合と同じように表せます：
$0.25\times0.25\times0.25=0.25^3$ もしくは $(0.25)^3$
また、分数の累乗は「分母と分子が分かれた累乗」として表すことができます：
分母と分子が分かれた表し方にすることで、 $3^4=81$ と $5^4=625$ より、この分数が $\frac{81}{625}$ といつものように表せます。
ここまでの内容で累乗の表し方はすべて紹介しました！
ここからは、上の知識を使ってより累乗を理解してみましょう！
負の数の累乗を計算するときの符号について
続いて、累乗の計算テクニックを紹介します。
まずは、次のような負の数の累乗について考えてみましょう。
$(-2)^{10}$
この累乗は、ただでさえ計算が大変なのに、 $2^10$ とは異なり「一つずつ計算すると『－２』、『４』、『－８』と毎回符号が変わるので余計に時間がかかります」。
ここで、負の数のかけ算についてもう一度考えてみると、次のことが言えると思います：
これをまとめると、負の数の累乗は「負の符号なしの絶対値の累乗に、指数が偶数なら＋１、奇数なら－１をかけた値」となります。
これを生かすと、例えば $(-1)^{99}$ のような一見難しそうな累乗も、「99が奇数」なので「－１」とすぐに分かります。
最後に
累乗という考え方は、これまで行ってきた計算をよりシンプルにしてくれるツールです。累乗の考え方は大学数学でも使い続ける非常に大事なものです。ぜひたくさん練習してマスターしてください。
次の記事で第1章「正の数・負の数」は最後なのでこのまま頑張りましょう。最後までお読みいただきありがとうございました。
この記事に関連した英語編の記事として下のものを作成しました！ぜひ下のリンクから読んでみてください！
→ 英語で累乗を表現する方法は？ （正の数・負の数－Part 5） 【近日公開！】
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