はじめに
こんにちは！イギリスの大学で数学を勉強しているゆーたです！
この記事では、「正の数・負の数」の第3回目として、正負の数について引き続き解説をしていきます。今回は、「四則の混じった正負の計算」や「分配法則」などに見ていきます。どれもこの単元の重要な部分なので、この記事を読んで理解しましょう！
これまで「正の数・負の数」の記事や次の記事について見たい方もいると思います。下のリンクからそれらの記事に飛んでください。
→ 正の数・負の数・数直線・絶対値とは？｜正の数・負の数①
→ 負の数の入った四則演算を徹底解説！｜正の数・負の数②
→ 負の数の計算・分配法則・交換法則・結合法則｜正の数・負の数③ ←現在の記事
→ 累乗・指数・負の数や分数の累乗をマスターしよう！｜正の数・負の数④ 【近日公開！】
→ 自然数・素数・素因数分解をマスターしよう！｜正の数・負の数⑤ 【近日公開！】
また以下の「英語編」の記事では、今回の記事に関わる英語の内容を解説しています。ぜひこちらも読んでみてください。
→ 英語で四則の混ざった計算・分配法則を表現するには？ （正の数・負の数－Part 4） 【近日公開！】
解説
四則の混じった正負の計算
前回の記事では、それぞれの四則演算の計算方法を見ていきました。ですが、それらが混ざった計算については見ていませんでした。ここでは、四則の混ざった正負の計算のルールを紹介します。
覚えなければいけないルールは３つあります。
ルール１：乗除（かけ算と割り算）が先に計算される
計算の中に乗法と除法が含まれる場合にはそれらを先に計算します。
例えば、次のように「足し算とかけ算が入った計算」は「かけ算を先に計算してから足し算をする」のがルールです。
$2+3\times4=2+12=14$
また、次のように負の数が混ざっても、「乗法と除法から計算する」ルールは変わりません。
$6\div(-2)+(-3)\times4+7=(-3)+(-12)+7=-8$
ルール２：カッコがある場合には、カッコの中が最優先される
カッコを使うことで、その中の計算を最優先させることができます。
特に中学校では、丸カッコ（）と波カッコ｛｝を習います。まずは丸カッコを使い、もう一度カッコでくくりたいときに波カッコを使います。
$3\times(6+7)=3\times13=39$
\begin{align}
\left\{(7-4)\times3-(9+13)\div2\right\}\times6 &=\left\{3\times3-22\div2\right\}\times6 \\
&=(9-11)\times6 \\
&=-2\times6 \\
&=-12
\end{align}
ここでのカッコは「足し算と引き算を先に計算するため」にあります。そのため、波カッコ｛｝は丸カッコ（）だけだと（）の中が「足し算と引き算だけ」にできないときに使います。
ルール３：丸カッコや波カッコの中でも乗除が優先される
上のルール２の例２ではすでに行っていますが、カッコの中に乗法と除法がある場合には「そのままルール１を使う」ことになります。
このルールは、上の二つのルールから自然に得られる結果です。
分配法則について
１．分配法則の基礎を理解しよう！
「分配法則」という言葉には聞き覚えがないかもしれませんが、この考え方は小学校の算数でも触れたことがあります。
例えば…
この計算をするとき、（）内の３と４が２に「分配」されているので分配法則と呼ばれます。
また、これは負の数が含まれても成り立ちます：
さらに、この分配法則が役立つのは次のような場合です：
$(\frac{2}{3}+\frac{3}{2})\times6=\frac{2}{3}\times6+\frac{3}{2}\times6=4+9=13$
$\frac{2}{3}+\frac{3}{2}$ を直接計算するよりも、分配法則を利用した方が簡単ですよね。
２．分配法則の逆とは？
また、「分配法則の逆」も考えることができます。
上で説明した分配法則は「カッコを外す操作」でしたが、分配法則の逆は「カッコでくくる操作」になります。
これを図を使って表すと…
分配法則の逆が役立つのは次のような場合です：
$3\times6+97\times6=(3+97)\times6=100\times6=600$
３と９７の和は１００になるので、分配法則の逆を利用すると計算が楽になります。
ただ、複雑な計算では「どこで分配法則の逆を使えばいいか分からない」場合も多いです。
たくさん計算することでだんだんと慣れていきましょう。
加法と乗法の交換法則と結合法則
小学校でも、分配法則と一緒に習ったのが「交換法則」と「結合法則」でしょう。
少し確認をすると、次のような関係を表すものでした：
ここで注意点として、この２つの法則は「加法と乗法にしか使えない」ことを覚えておきましょう。
これは、下のような「減法と除法」について確認してみるとすぐに分かります。
$4-9\neq9-4$
$2\div3\neq3\div2$
$(10\div2)\div5=1\neq25=10\div(2\div5)$
そして、加法・乗法に関しては「負の数が混ざった場合」でも交換法則・結合法則が成り立ちます。
例えば次のように成り立つのが分かると思います。（みなさんで計算してみましょう！）
$(-4)+(-3)=-7=(-3)+(-4)$
$6\times(-9)=-54=(-9)\times6$
$\left\{(-4)+2\right\}+(-8)=-10=(-4)+\left\{2+(-8)\right\}$
$\left\{(-3)\times(-9)\right\}\times5=135=(-3)\times\left\{(-9)\times5\right\}$
「分配法則・交換法則・結合法則」は小学校から習う四則演算の基礎的な性質です。これらは単純な計算などとは少し違うため、「面白くない」と感じる人もいると思います。
しかし、これらはここまで習ってきた「四則演算」を可能にする重要な骨組みのようなものです。大学の数学では、これらの法則の重要性を学ぶことができます。
興味のある方は私のように将来数学科に入ってみてください！
最後に
いかがだったでしょうか？今回は内容量も多く、また異なるトピックをいくつか扱ったので大変だったかもしれません。
次は「累乗」について扱います。興味ある方はぜひ読んでみてください！
また以下の「英語編」の記事では、今回の記事に関わる英語の内容を解説しています。ぜひこちらも読んでみてください。
→ 英語で逆数・打ち消し合いを表現するには？ （正の数・負の数－Part 3） 【近日公開！】
→ 英語で四則の混ざった計算・分配法則を表現するには？ （正の数・負の数－Part 4） 【近日公開！】
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